Détermination des classes d'isomorphismes des réseaux paris de déterminant 3 en dimension 26

On note X26 l'ensemble des classes d'isomorphisme de réseaux pairs de dimension 26 et de déterminant 3. Une fois donné un élément L de X26, on note R(L) la classe d'isomorphisme de son système de racines (c'est-à-dire de ses éléments de norme 2). Notre but est de déterminer les éléments de X26, ce qu'avait commencé à faire Richard Borcherds. Les résultats obtenus ont permis de finir ce travail, et de déterminer les 678 éléments de X26.

I. Les systèmes de racines des éléments de X26

Suivant les résultats de Borcherds, il existe un seul élément L de X26 tel que R(L) est vide. Les autres éléments de X26 se comprennent à l'aide des orbites des vecteurs primitifs du réseau II25,1 de norme -6, qui sont données ici. Concrètement, il existe une bijection entre les classes de tels vecteurs et les classes de couples de la forme (r,L), où L est un élément de X26 avec racines, et r est une racine de L. Cette bijection est détaillée ici (au lemme 4.7.0).

En reprenant dans l'ordre la liste des vecteurs de norme -6 trouvée par Borcherds, on donne ici les couples (r,L) obtenus par cette bijection (où on donne pour L la classe d'isomorphisme de R(L), et pour r la classe d'isomorphisme de la composante irréductible de R(L) à laquelle r appartient).

II. Les éléments de X26 et les éléments de X25

Dans un précédent travail, nous avions déterminé pour chaque élément L de X25 : une base d'un réseau dans la même classe que L, ainsi qu'un élément qui engendre le quotient L#/L. Il est alors possible de construire des éléments de X26 deux-à-deux distincts : il s'agit de tous les réseaux L de X26 tels que le quotient L#/L contient un élément de la forme v/6, où v est un vecteur de L de norme 6.

On arrive ainsi à déterminer 121 éléments de X26 (un élément pour chaque élément de X25). On donne ici la liste des systèmes de racines de ces éléments. Ces systèmes de racines sont donnés dans le même ordre que celui utilisé ici pour numéroter les éléments de X25.

III. Les autres éléments de X26

Les autres éléments de X26 se comprennent à l'aide de la liste calculée précédemment. L'idée maîtresse est que le groupe de Weyl d'un système de racine irréductible agit transitivement sur ses racines, et est un sous-groupe du groupe orthogonal d'un réseau. En particulier, le groupe orthogonal d'un réseau agit transitivement sur les racines appartenant à une composante irréductible de son système de raine donnée.

Cependant, même avec cette constatation, il reste quelques ambiguïtés à lever (comme cela été mis en évidence par Borcherds ici). On s'est alors contenté d'un résultat plus faible au lemme 4.7.0 évoqué précédemment, à savoir que les réseaux L obtenus grâce à ce lemme constituent l'ensemble des classes de X26. Le logiciel Magma a permis de regrouper ces réseaux par classes d'isomorphismes, ce que l'on donne ici (où chaque ligne donne les indices, suivant la numérotation de cette table, des réseaux correpondant à une même classe).

On trouve finalement les 678 annoncés précédemment, et il n'y avait en fait qu'un seul élément de X26 dans chacune des situations d'ambiguïté exhibées par Borcherds.



retour à l'accueil