Si on se donne L un réseau pair de dimension 23 et de déterminant 2, on lui associe le sous-ensemble R(L) des éléments x tels que (x.x)=2 : c'est un système de racines de type ADE. Une inspection des ensembles R(L) ainsi obtenus montre que la classe d'isomorphisme de R(L) détermine entièrement la classe d'isomorphisme de L.
On donne pour chacun des 32 systèmes de racines provenant de tels réseaux une Z-base d'un réseau L (vu comme un sous-ensemble de R24) tel que R(L) soit dans la bonne classe d'isomorphisme : D22∪ A1 D14∪ E8∪ A1 D16∪ E7 2E8∪ E7 A22 D12∪ D10∪ A1 A15∪ E7 A17∪ D6 D8∪ 2E7∪ A1 D10∪ E7∪ D6 A13∪ D9 A15∪ D7∪ A1 2D8∪ D6∪ A1 A12∪ A10 A9∪ D7∪ E6 A11∪ E6∪ D5∪ A1 A11∪ D7∪ A5 3E6∪ A5 A9∪ A7∪ D6 2A9∪ D4∪ A1 3D6∪ D4∪ A1 2A8∪ A6 A7∪ 2D5∪ A5 2A7∪ D5∪ A3∪ A1 3A6∪ A4 3A5∪ D4∪ A3 4A5∪ 3A1 5D4∪ 3A1 5A4∪ A2 7A3∪ A1 11A2 23A1
Pour 1 ≤ i ≤ 32, on note Li# le réseau dual de Li (dans le Q-espace vectoriel engendré par Li). Le quotient Li#/Li est alors isomorphe au groupe Z/2Z, et on donne ici une liste contenant pour chaque réseau Li précédent un relèvement de l'unique élément non trivial du quotient Li#/Li.
Si l'on note R1,...,R32 les systèmes de racines précédents dans le même ordre, et que l'on note L1,...,L32 les classes de X23 correspondantes, alors la matrice de T2 sur Z[X23] dans la base des Li, calculée grâce à ce programme, est donnée ici.
Pour les valeurs suivantes de p, on donne la matrice de Tp dans la base précédente : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
Suivant la numérotation précédente, on note P23 la matrice diagonale dont le ième terme est le cardinal du groupe orthogonal O(Li), donnée ici. Les matrices des Tp exprimées précédemment sont auto-adjointes pour le produit scalaire associé à la matrice P23.
Si on se donne L un réseau pair de dimension 25 et de déterminant 2, on lui associe le sous-ensemble R(L) des éléments x tels que (x.x)=2 : c'est un système de racines de type ADE. Une inspection des ensembles R(L) ainsi obtenus montre que la classe d'isomorphisme de R(L) détermine entièrement la classe d'isomorphisme de L.
On reprend la liste de Borcherds des éléments de X25 et des classes d'isomorphismes de leur systèmes de racines, donnée ici. En notant L1,...,L121 les classes de X25 dans le même ordre, on donne pour chaque classe une Z-base d'un réseau L (vu comme un sous-ensemble de R26) : L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11 L12 L13 L14 L15 L16 L17 L18 L19 L20 L21 L22 L23 L24 L25 L26 L27 L28 L29 L30 L31 L32 L33 L34 L35 L36 L37 L38 L39 L40 L41 L42 L43 L44 L45 L46 L47 L48 L49 L50 L51 L52 L53 L54 L55 L56 L57 L58 L59 L60 L61 L62 L63 L64 L65 L66 L67 L68 L69 L70 L71 L72 L73 L74 L75 L76 L77 L78 L79 L80 L81 L82 L83 L84 L85 L86 L87 L88 L89 L90 L91 L92 L93 L94 L95 L96 L97 L98 L99 L100 L101 L102 L103 L104 L105 L106 L107 L108 L109 L110 L111 L112 L113 L114 L115 L116 L117 L118 L119 L120 L121
Pour 1 ≤ i ≤ 121, on note Li# le réseau dual de Li (dans le Q-espace vectoriel engendré par Li). Le quotient Li#/Li est alors isomorphe au groupe Z/2Z, et on donne ici une liste contenant pour chaque réseau Li précédent un relèvement de l'unique élément non trivial du quotient Li#/Li.
La matrice de T2 sur Z[X25] dans la base des Li, calculée grâce à ce programme, est donnée ici.
Pour les valeurs suivantes de p, on donne la matrice de Tp dans la base précédente : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67
Suivant la numérotation précédente, on note P25 la matrice diagonale dont le ième terme est le cardinal du groupe orthogonal O(Li), donnée ici. Les matrices des Tp exprimées précédemment sont auto-adjointes pour le produit scalaire associé à la matrice P25.
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