Calcul d'opérateurs de Hecke sur les classes d'isomorphismes des réseaux pairs de déterminant 3 en dimension 26

I. Détermination des éléments de X₂₆

I.1 Les systèmes de racines des éléments de X₂₆

Suivant les résultats de Borcherds, il existe un seul élément L de X₂₆ tel que R(L) est vide. Les autres éléments de X₂₆ se comprennent à l'aide des orbites des vecteurs primitifs du réseau II_25,1 de norme -6, qui sont données ici. Concrètement, il existe une bijection entre les classes de tels vecteurs et les classes de couples de la forme (r,L), où L est un élément de X₂₆ avec racines, et r est une racine de L. Cette bijection est détaillée ici (au lemme 4.7.0).

En reprenant dans l'ordre la liste des vecteurs de norme -6 trouvée par Borcherds, on donne ici les couples (r,L) obtenus par cette bijection (où on donne pour L la classe d'isomorphisme de R(L), et pour r la classe d'isomorphisme de la composante irréductible de R(L) à laquelle r appartient).

I.2 Les éléments de X₂₆ et les éléments de X₂₅

Dans un précédent travail, nous avions déterminé pour chaque élément L de X₂₅ : une base d'un réseau dans la même classe que L, ainsi qu'un élément qui engendre le quotient L^#/L. Il est alors possible de construire des éléments de X₂₆ deux-à-deux distincts : il s'agit de tous les réseaux L de X₂₆ tels que le quotient L^#/L contient un élément de la forme v/6, où v est un vecteur de L de norme 6.

On arrive ainsi à déterminer 121 éléments de X₂₆ (un élément pour chaque élément de X₂₅). On donne ici la liste des systèmes de racines de ces éléments. Ces systèmes de racines sont donnés dans le même ordre que celui utilisé ici pour numéroter les éléments de X₂₅.

I.3 Les autres éléments de X₂₆

Les autres éléments de X₂₆ se comprennent à l'aide de la liste calculée précédemment. L'idée maîtresse est que le groupe de Weyl d'un système de racine irréductible agit transitivement sur ses racines, et est un sous-groupe du groupe orthogonal d'un réseau. En particulier, le groupe orthogonal d'un réseau agit transitivement sur les racines appartenant à une composante irréductible de son système de raine donnée.

Cependant, même avec cette constatation, il reste quelques ambiguïtés à lever (comme cela été mis en évidence par Borcherds ici). On s'est alors contenté d'un résultat plus faible au lemme 4.7.0 évoqué précédemment, à savoir que les réseaux L obtenus grâce à ce lemme constituent l'ensemble des classes de X₂₆. Le logiciel Magma a permis de regrouper ces réseaux par classes d'isomorphismes, ce que l'on donne ici (où chaque ligne donne les indices, suivant la numérotation de cette table, des réseaux correpondant à une même classe).

On trouve finalement les 678 annoncés précédemment, et il n'y avait en fait qu'un seul élément de X₂₆ dans chacune des situations d'ambiguïté exhibées par Borcherds.

II. Détermination rapide de la classe d'un réseau dans X₂₆

Si l'on se donne L un réseau pair de déterminant 3 de dimension 26, on peut s'intéresser à calculer sa classe dans X₂₆, et ceci de manière efficace.

Le calcul de la classe du système de racine R(L) de L permet de déterminer la classe de L dans 516 cas sur les 678 possibles. En regardant ensuite la classe du quotient L/R(L), on peut déterminer la classe de L dans 23 cas supplémentaires, ce qui laisse 139 cas.

Pour tous ces cas, on utilise la méthode suivante :
- on calcule la classe R du système de racines R(L) de L ;
- on choisit un ensemble S des classes de systèmes de racines irréductibles, qui dépend uniquement de la classe de R(L) ;
- on considère l'ensemble R' des racines de L qui appartiennent à un composante irréductible dont la classe est dans S ;
- on construit le réseau L' qui est l'orthogonal de R' dans L ;
- on calcule le nombre n de vecteurs de carré scalaire 4 dans L'.

En choisissant bien S en fonction R, la quantité [R,n] détermine entièrement la classe de L dans X26. On donne ici la liste des ensembles S que l'on a choisis, en fonction de R, où : étant donné la classe R, l'ensemble S associé est l'ensemble qui suit R dans la liste.

III. Application au calcul d'opérateurs de Hecke sur Z[X₂₆]

On numérote les classes de X₂₆ suivant la liste suivante, où on donne, pour les 678 classes de X₂₆, une base d'un réseau correspondant à la classe en question. Suivant cette numérotation, on note L_i les réseaux considérés. On prendra garde au fait que ces réseaux ont été construits suivant les résultats de Borcherds exposés précédemment, et les sont donc construits comme des sous-ensembles de R³⁴ muni de la forme bilinéaire (x_i,y_i)=-x₁y₁+x₂y₂+...+x₃₄y₃₄.

La matrice de T₂ sur Z[X₂₆] dans la base des L_i, calculée grâce à ce programme, est donnée ici, et repose sur les calculs optimisés de classes de réseaux pairs de déterminant 3 en dimension 26 exposés précédemment. Tous les fichiers à charger dans ce programme sont dans ce dossier.

Suivant la numérotation précédente, on note P₂₆ la matrice diagonale dont le i^ème terme est le cardinal du groupe orthogonal O(L_i), donnée ici. La matrice T₂ exprimée précédemment est auto-adjointe pour le produit scalaire associé à la matrice P₂₆.





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