Arithmétique dans Z : division euclidienne,
relation de divisibilité et congruences, diviseurs communs, pgcd,
algorithme d'Euclide étendu, théorème de Bezout, théorème de Gauss,
théorème des restes chinois, nombres premiers, lemme d'Euclide,
existence et unicité de la décomposition d'un entier en produit de
nombres premiers. RSA et cryptographie.
Les polynômes : degré, racines, théorème de D'Alembert-Gauss (admis) : relations entre racines et coefficients.
Les anneaux Z et K[X] (K=R ou C ou Q) :
divisibilité, éléments inversibles, éléments irréductibles, éléments
irréductibles de Z, C[X] et R[X], notion d'idéal, d'anneau principal,
euclidien, division euclidienne des polynômes, algorithme d'Euclide
étendu, pgcd, théorème de Bezout.
L'anneau Z/nZ : éléments inversibles, diviseurs de zéro, cas où n est premier.
Corps. Corps des fractions rationnelles : décomposition en éléments simples.
Permutations : groupe des permutations,
transpositions, décomposition d'une permutation en produit de
transpositions, signature, cycles, décomposition d'une permutation en
produit de cycles à supports disjoints.
Modalités pédagogiques :
présentiel
Modalités de contrôle :
F= note finale, P = Partiel, E =
Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral.
Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.